ある学生の理系科目勉強の部屋

関西出身のとある理系大学生によるブログです。大学入試の解答を掲載したり、高校大学問わず理系についてのトピックを掲載しています。

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2016年度大阪市立大学理系数学第2問

積分法大阪市立大学

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問1

$\displaystyle C_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n+2}{x}dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}\cos^{n+1}{x}dx$

$\displaystyle =\left[\sin{x}\cos^{n+1}{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\cos^{n}{x}(-\sin{x})dx$

$\displaystyle=(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}{x}\cos^{n}{x}dx$

$\displaystyle=(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^{2}{x})\cos^{n}{x}dx$

$\displaystyle=(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}{x}dx-(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n+2}{x}dx$

$=(n+1)C_{n}-(n+1)C_{n+2}$

$\leftrightarrow (n+2)C_{n+2}=(n+1)C_{n}$

$\displaystyle\leftrightarrow C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_{n}$

よって、示せた。

問2

$x^{2}+y^{2}\leq1$ から $y$ は $x$ の関数

$z+2x^2-x^4\leq1$ $\leftrightarrow z\leq x^4-2x^2+1$

$\leftrightarrow z\leq(x^2-1)^{2}$

から $z$ は $x$ の関数である。

したがって、 $x$ を固定して $zy$ 平面における断面から体積を求めたほうがよさそうである。

$x^{2}+y^{2}\leq1,~x\geq0$ より $0\leq x\leq1$ である。したがって、 $0\leq t\leq1$ である $t$ で $x$ を固定する。

すなわち、 $x=t$ とすると

$t^{2}+y^{2}\leq1\leftrightarrow y^{2}\leq1-t^{2}$ $\leftrightarrow-\sqrt{1-t^{2}}\leq y\leq\sqrt{1-t^{2}}$

$y\geq0$ を考慮すると $\leftrightarrow0\leq y\leq\sqrt{1-t^{2}}$

$z\geq0$ を考慮して $0\leq z\leq(t^{2}-1)^{2}$

したがって、断面積は $\sqrt{1-t^{2}}(t^{2}-1)^{2}$ である。

体積Vは

$\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2}}(t^{2}-1)^{2}dt$

$\displaystyle=\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2}}(1-t^{2})^{2}dt$

$\displaystyle=\int_{0}^{1}(1-t^{2})^{\frac{5}{2}}dt$

$t=\sin{\theta}$ とすると $\displaystyle\theta:0\rightarrow\frac{\pi}{2},~\cos{\theta}d\theta=dt$ であるから

$\displaystyle V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^{2}{\theta}\right)^{\frac{5}{2}}\cos{\theta}d\theta$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{6}{\theta}d\theta$

ここで、 $\displaystyle C_{6}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{6}{\theta}d\theta$ とすると問1の結果より

$\displaystyle C_{6}=\frac{5}{6}C_{4}$

$\displaystyle=\frac{5}{6}\frac{3}{4}C_{2}$

$\displaystyle=\frac{5}{6}\frac{3}{4}\frac{1}{2}C_{0}$

$\displaystyle C_{0}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{0}{\theta}d\theta=\left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$ より

$\displaystyle C_{6}=\frac{5}{6}\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$

$\displaystyle=\frac{5}{2}\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$

$\displaystyle=\frac{5}{32}\pi$

したがって、 $\displaystyle V=\frac{5}{32}\pi$