2018年度関西大学理系数学第2問 - ある学生の理系科目勉強の部屋

(1)三角関数
三角関数の加法定理より、
$\displaystyle\cos{ \frac{5 }{12}\pi }=\cos{ \frac{\pi }{4 }}\cos{ \frac{\pi }{6 } }-\sin{ \frac{\pi }{4 }}\sin{ \frac{\pi }{6 } }$
$\displaystyle= \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \sqrt{3 } }{2}- \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{1}{2}$
$\displaystyle= \frac{ \sqrt{6 }- \sqrt{2} }{4 }$

(2)複素数平面
$\alpha= \sqrt{6 }- \sqrt{2}+\left( \sqrt{6 }+ \sqrt{2}\right)i$
$=R\left(\cos{\theta }+i\sin{\theta }\right)$

ここで、 $R= \sqrt{\left(\sqrt{6 }- \sqrt{2}\right)^{2}+\left( \sqrt{6 }+ \sqrt{2}\right)^{2}}=4$ ,

$\cos{\theta}= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2 }}{4},~\sin{\theta}= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}$ である。

ド・モアブルの定理より
$\alpha^{n }=R^{n}\left(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\right)$

これが実数となる、つまり虚部が0であるとき
$n\theta=m\pi~(m=1,2,3,...)$

ここで、(1)より
$\displaystyle\sin{\frac{5 }{12 }\pi}= \sqrt{1- \frac{6-2 \sqrt{12}+2 }{16 }}= \frac{ \sqrt{6 }+ \sqrt{2} }{4 }$

したがって、 $\displaystyle\theta= \frac{5 }{12}\pi$ である。
これを先程の等式に代入すると、
$\displaystyle \frac{5}{12}n\pi=m\pi$
$\displaystyle n= \frac{12 }{5}m$

$m=5$ のとき、 $n=12$ 。 $\alpha^{12}=4^{12 }\cos{5\pi}=-4^{12}\lt0$ より、 $\alpha^{n }\gt0$ を満たさない。
$m=10$ のとき、 $n=24$ 。このとき、 $\alpha^{n }\gt0$ を満たす。
したがって、 $\alpha^{n }\gt0$ である最小の自然数 $n$ は24である。

次に $\left|\alpha^{24 }\right|$ の桁数について考える。
$\left|\alpha^{24 }\right|=4^{24 }$ であり、 $k$ 桁の自然数とすると $10^{k-1 }\leq 4^{24}\lt 10^{k }$
両辺に10を底とする対数をとって $k-1\leq48\log_{10}{2}\lt k$
$k-1\leq48\times0.3010\lt k$
$k-1\leq14.448\lt k$
したがって、 $k=15$ 、つまり $\alpha^{24}$ は15桁の整数である。

(3)
$\displaystyle \frac{\alpha^{n }\beta^{m } }{4^{n } }$
$\displaystyle= \frac{4^{n }\left(\cos{\frac{5 }{12}n\pi }+i\sin{\frac{5 }{12}n\pi }\right) \left(\cos{\frac{m}{10}\pi }+i\sin{\frac{m}{10}\pi }\right) }{4^{n} }$
$\displaystyle=\left(\cos{\frac{5 }{12}n\pi }+i\sin{\frac{5 }{12}n\pi }\right) \left(\cos{\frac{m}{10}\pi }+i\sin{\frac{m}{10}\pi }\right)$
$\displaystyle=\cos{ \left(\frac{5 }{12}n\pi + \frac{m }{10 }\pi\right) }+i\sin { \left(\frac{5 }{12}n\pi + \frac{m }{10 }\pi\right) }$
偏角について、
$\displaystyle arg \frac{\alpha^{n }\beta^{m } }{4^{n } }=\frac{25n+6m }{60 }$

ここで、 $arg\theta=arg(2\pi+\theta)$ であることを考慮して
$25\times7+6\times11\equiv 1(mod120)$ より $1\leq q\leq 120$ である整数 $q$ を考えると
$(25\times7+6\times11)q\equiv q(mod120)$
したがって、 $\displaystyle arg \frac{\alpha^{n }\beta^{m } }{4^{n } }= \frac{q }{60 }\pi$ であるから120個の複素数値を取り得る。

次に、 $\displaystyle\gamma=\cos{ \left( \frac{25+6m }{60}\pi\right) }+i\sin { \left(\frac{25+6m }{60}\pi\right) }$
最小の偏角は $\displaystyle \frac{\pi }{60 }$ であるから、
$25+6m=1$
$25\times7+6\times11\equiv 1(mod120)$ より、 $25(1-7)+6(m-11)\equiv 0(mod120)$
$6(m-36)\equiv 0(mod120)$
$m-36\equiv 0(mod20)$
$m\equiv 16(mod20)$
したがって、整数 $m$ を20で割ったときの余りが16であることが、最小の偏角が $\displaystyle\gamma= \frac{\alpha\beta^{m } }{4 }$ となるための必要十分条件である。