2018年度関西大学理系数学第1問 - ある学生の理系科目勉強の部屋

(1)

$x$ で微分すると $f'(x)=e^{-x}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$ $e^{-x}>0$ より $g(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}$ とする。

$g(x)=0$ とすると、 $\frac{1}{2\sqrt{x}}= \sqrt{x}$

つまり、 $x= \frac{1}{2}$

したがって、 $0\leq x\lt\frac{1}{2}$ のとき $g(x)>0$ , $\frac{1}{2}\lt x$ のとき $g(x)\lt 0$ より極大値 $f\left( \frac{1}{2}\right)= \frac{ \sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}}$

極小値はない。

(2)

$f''(x)=e^{-x}\left(- \frac{1}{4x\sqrt{x}}- \frac{1}{2\sqrt{x}}- \frac{1}{2\sqrt{x}}+ \sqrt{x}\right)\\=e^{-x}\left(-\frac{1}{4x \sqrt{x }}- \frac{1 }{ \sqrt{x}}+ \sqrt{x }\right)$

(1)同様に $h(x)=- \frac{1}{4 x\sqrt{x }} - \frac{1 }{ \sqrt{x}} + \sqrt{x }$ とする。 $h(x)=0$ とすると、 $\frac{1}{4x \sqrt{x}} +\frac{1 }{ \sqrt{x}}-\sqrt{x}=0$ $4x^{2}-4x-1=0$