ある学生の理系科目勉強の部屋

関西出身のとある理系大学生によるブログです。大学入試の解答を掲載したり、高校大学問わず理系についてのトピックを掲載しています。

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2016年度大阪市立大学理系数学第3問

大阪市立大学微分法

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問1

$x^{r}+y^{r}=1$ を $x$ で微分すると

$\displaystyle rx^{r-1}+ry^{r-1}y'=0\leftrightarrow y'=-\frac{x^{r-1}}{y^{r-1}}(r\neq0)$

であるから、点Pにおける接線 $l$ の方程式は

$\displaystyle y=-\frac{p^{r-1}}{q^{r-1}}(x-p)+q$

$x=0$ のとき $\displaystyle y=\frac{p^{r-1}}{q^{r-1}}(-p)+q=\frac{q^{r}+p^{r}}{q^{r-1}}$

$\displaystyle \leftrightarrow y=\frac{1}{q^{r-1}}=q^{1-r}$

$y=0$ のとき $\displaystyle 0=-\frac{p^{r-1}}{q^{r-1}}(x-p)+q$

$\displaystyle\leftrightarrow \frac{p^{r-1}}{q^{r-1}}x=\frac{p^{r}}{q^{r-1}}+q$

$\displaystyle\leftrightarrow \frac{p^{r-1}}{q^{r-1}}x=\frac{q^{r}+p^{r}}{q^{r-1}}$

$\displaystyle\leftrightarrow x=\frac{1}{p^{r-1}}=p^{1-r}$

したがって、 $\displaystyle A\left(0,q^{1-r}\right),~B\left(p^{1-r},0\right)$

問2

$AB$ の長さを $d$ とする。

$\displaystyle d^{2}=q^{2(1-r)}+p^{2(1-r)}$

これが $p,q$ の値に関係なく一定値 $k$ ( $k$ は実数)となるような $r$ の値を考える。

$\displaystyle d^{2}=q^{2(1-r)}+p^{2(1-r)}=k$

$p$ で微分すると

$\displaystyle 2(1-r)q^{1-2r}\frac{dq}{dp}+2(1-r)p^{1-2r}=0$

$\displaystyle q^{1-2r}\frac{dq}{dp}+p^{1-2r}=0$ ( $2(1-r)\neq0$ より)

ここで、 $p,q$ は曲線 $C$ 上の点であるので

$p^{r}+q^{r}=1$

$p$ で微分すると

$\displaystyle rp^{r-1}+rq^{r-1}\frac{dq}{dp}=0$

$\displaystyle \frac{dq}{dp}=-\frac{p^{r-1}}{q^{r-1}}$

これを先ほどの式に代入して

$\displaystyle q^{1-2r}\left(-\frac{p^{r-1}}{q^{r-1}}\right)+p^{1-2r}=0$

$\displaystyle \leftrightarrow p^{2-3r}=q^{2-3r}$

$p=q$ であるとするとどんな $r$ でも成り立つ。

$p\neq q$ のとき、 $2-3r=0$ つまり $\displaystyle r=\frac{2}{3}$ のとき成り立つ。

これを $d$ に代入してみると

$\displaystyle d=\sqrt{q^{\frac{2}{3}}+p^{\frac{2}{3}}}=1$

であるから、求める $r$ は $\displaystyle\frac{2}{3}$ である。