2016年度大阪市立大学理系数学第4問 - ある学生の理系科目勉強の部屋

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問1

袋 $k$ について考える。このとき、赤球をちょうど $m$ 回取り出す確率 $P_{m,k}$ は

$\displaystyle P_{m,k}=\frac{1}{n}~_{10}C_{m}\left(\frac{k}{n}\right)^{m}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-m}$

したがって、 $P_{m,n}$ は

$\displaystyle P_{m,n}=\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{n}~_{10}C_{m}\left(\frac{k}{n}\right)^{m}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-m}\right\}$

$\displaystyle =\frac{1}{n}~_{10}C_{m}\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^{m}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-m}\right\}$

問2

$P_{10,n}$ について

$\displaystyle P_{10,n}=\frac{1}{n}~_{10}C_{10}\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^{10}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-10}\right\}$

$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{10}$

したがって、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{P_{10,n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{10}}$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}x^{10}dx$ 　(区分求積法より)

$\displaystyle =\left[\frac{1}{11}x^{11}\right]_{0}^{1}$

$\displaystyle =\frac{1}{11}$

問3

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{P_{m+1,n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}~_{10}C_{m+1}\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^{m+1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-(m+1)}\right\}}$

$\displaystyle =~_{10}C_{m+1}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^{m+1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-(m+1)}\right\}}$