ある学生の理系科目勉強の部屋

関西出身のとある理系大学生によるブログです。大学入試の解答を掲載したり、高校大学問わず理系についてのトピックを掲載しています。

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2016年度大阪市立大学理系数学第1問

大阪市立大学微分法

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問1

$\displaystyle f(x)=a^{r}+x^{r }-(a+x)^{r }$ とする。

$\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}-r(a+x)^{r-1 }=r\{x^{r-1}-(a+x)^{r-1 }\}$

$0\lt r\lt1$ より $r-1\lt0$ なので

$\displaystyle f'(x)=r\{ \frac{1}{x^{1-r}}-\frac{1}{(a+x)^{1-r }}\}$

$a,x,1-r\geq0$ であるから

$\frac{1}{x^{1-r}}\geq\frac{1}{(a+x)^{1-r }}$

$\leftrightarrow\frac{1}{x^{1-r}}-\frac{1}{(a+x)^{1-r }}\geq0$

したがって、 $x\geq0$ において $f'(x)\geq0$ である。

$x\geq0$ において $f'(x)=0$ となるのは $x=0$ のときだけであるから $x\gt0$ において $f(x)$ は単調増加する。また $f(0)=0$ であるから $f(x)\geq0$ である。

以上より、 $a^{r}+x^{r }-(a+x)^{r }\geq0$

$\leftrightarrow(a+x)^{r }\leq{a^{r} }+x^{r }$

問2

数学的帰納法を用いて

$\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)^{r}\leq\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{r}$ ...①

を証明する。

(1) $n=1$ のとき、

左辺について、 $\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{1}a_{k}\right)^{r}=a_{1}^{r}$

右辺について、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{1}a_{k}^{r}=a_{1}^{r}$

したがって、 $\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{1}a_{k}\right)^{r}=\sum_{k=1}^{1}a_{k}^{r}$ であるから $n=1$ のとき①は成り立つ。

(2) $n=l$ のとき①が成り立つとする。

$n=l+1$ のときについて考える。

ここで、 $\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{l+1}a_{k}\right)^{r}=\left(\sum_{k=1}^{l}a_{k}+a_{l+1}\right)^{r}$

であり、 $a_{k}\geq0$ と問1の結果から

$\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{l}a_{k}+a_{l+1}\right)^{r}\leq\sum_{k=1}^{l}a_{k}^{r}+a_{l+1}^{r}$

$\displaystyle\leftrightarrow\left(\sum_{k=1}^{l+1}a_{k}\right)^{r}\leq\sum_{k=1}^{l+1}a_{k}^{r}$

である。したがって、 $n=l+1$ のときも成立。

数学的帰納法より①は証明された。[証明終]