問1 袋について考える。このとき、赤球をちょうど回取り出す確率は したがって、は 問2 について したがって、 (区分求積法より) 問3 はである整数であるが、この等式が成り立つときである。 以上より、整数がのとき、が示せた。

問1 をで微分すると であるから、点Pにおける接線の方程式は のとき のとき したがって、 問2 の長さをとする。 これがの値に関係なく一定値(は実数)となるようなの値を考える。 で微分すると (より) ここで、は曲線上の点であるので で微分すると これを先…

問1 よって、示せた。 問2 からはの関数 からはの関数である。 したがって、を固定して平面における断面から体積を求めたほうがよさそうである。 よりである。したがって、であるでを固定する。 すなわち、とすると を考慮すると を考慮して したがって、断…

問1 とする。 よりなので であるから したがって、においてである。 においてとなるのはのときだけであるからにおいては単調増加する。またであるからである。 以上より、 問2 数学的帰納法を用いて ...① を証明する。 (1)のとき、 左辺について、 右辺につ…

小問集合です。 (1) 数列 とする。このとき、漸化式は次式で表される。 この漸化式における特性方程式について解く。 漸化式は次式のように変形できる。 ここで、である。 (2) 解と係数の関係 3次方程式の解と係数の関係より であるから (3) ベクトル OPは正…

(1) (2) とすると、 増減表は、以下の通りである。 0 × 0 0 × × 極大値 極小値 × したがって、 のとき、極大値 のとき、極小値 (3) 曲線の長さ より

(1)三角関数 三角関数の加法定理より、 (2)複素数平面 ここで、 , である。 ド・モアブルの定理より これが実数となる、つまり虚部が0であるとき ここで、(1)より したがって、である。 これを先程の等式に代入すると、 のとき、。より、を満たさない。 のと…

(1) で微分すると よりとする。 とすると、 つまり、 したがって、のとき, のときより 極大値 極小値はない。 (2) (1)同様にとする。 とすると、 したがって、 (3)回転体の体積 とすると したがって、求める体積は以下の通りである。