2018年度関西大学理系数学第4問 - ある学生の理系科目勉強の部屋

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小問集合です。

(1) 数列

$\displaystyle\frac{1}{a_{n}}=b_{n}$ とする。このとき、漸化式は次式で表される。

$\displaystyle b_{n+1}=2b_{n}+1$

この漸化式における特性方程式について解く。 $\alpha=2\alpha+1\leftrightarrow\alpha=-1$

漸化式は次式のように変形できる。

$b_{n+1}+1=2\left(b_{n}+1 \right)$

ここで、 $b_{1}+1=1+1=2$ である。

$\displaystyle b_{n}+1=2 \times2^{n-1}=2^{n}$

$\displaystyle b_{n}=2^{n}-1$

$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2^{n}-1}$

(2) 解と係数の関係

3次方程式の解と係数の関係より

$\alpha+\beta+\gamma=0,~\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1,~\alpha\beta\gamma=-1$ であるから

$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma=-3$

(3) ベクトル

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$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

$\displaystyle\overrightarrow{OD}=\frac{2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

OPは正方形の折り紙を上図の破線で折り返したときのOAと重なる。したがって、 $\left|OP\right|=\left|OA\right|=1$

$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OD}$ 上にあるので正の数 $k$ を用いて次のように表される。

$\displaystyle\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OD}=\frac{k}{3}\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$

$\left|\overrightarrow{OP}\right|=1$ より、 $\left|\overrightarrow{OP}\right|^{2}=1$

$\displaystyle\left|\frac{k}{3}\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\right|^{2}=1$

$\displaystyle\frac{k^{2}}{9}\left|\overrightarrow{OA}\right|^{2}+\frac{k^{2}}{3}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+k^{2}\left|\overrightarrow{OB}\right|^{2}=1$

$\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=1,~\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ より、

$\displaystyle\frac{k^{2}}{9}+k^{2}=1$

$\displaystyle k^{2}=\frac{9}{10}$

$k\lt0$ のとき、PはOについてDと反対側にあることとなるため、 $k\gt0$ である。

$\displaystyle k=\frac{3}{\sqrt{10}}$

したがって、 $\displaystyle\overrightarrow{OP}=\frac{\sqrt{10}}{10}\overrightarrow{OA}+\frac{3\sqrt{10}}{10}\overrightarrow{OB}$

(4) 確率

7枚のカードの中から4枚取り出す場合の数は $_{7}C_{4}$ 通りである。

ここで、取り出した4枚のカードのうち、6, 7が含まれる場合、A=6＆B≦5

6または7が含まれない場合、A≦5＆B≧6

であるため、B<Aとなるためには、取り出した4枚に6または7が含まれていない必要がある。これを、前者の余事象と考えると

$\displaystyle 1-\frac{_{5}C_{2}}{_{7}C_{4}}=1-\frac{\frac{5\cdot4}{2\cdot1}}{\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4\cdot3\cdot2\cdot1}}=1-\frac{5\cdot2}{7\cdot5}=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$